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Apostila de Raciocínio Lógico
Fundamentos da lógica
Estruturas Lógicas:
1.
Proposição – todo conjunto de palavras ou
símbolos que representam um pensamento completo. As proposições transmitem
pensamentos, ou seja, algo que poderá ser declarado e cujo conteúdo poderá ser
verdadeiro ou falso;
Exemplos:
- o Flamengo é o melhor time do
Brasil; (V)
- São Luis é capital do Ceará; (F)
- A lua é um satélite natural da
Terra; (V)
- Feliz natal – não é proposição
- por favor saia daqui! – não é
proposição
representação: p,
q, r, s...
ex: Maria foi a praia (p)
e
João ao cinema (q)
Princípios:
1.
Não contradição – uma proposição não
poderá ser F e V ao mesmo tempo nuca os dois;
2.
Terceiro excluído – toda proposição
ou é V ou é F não existe um terceiro caso;
3.
Identidade – se um enunciado é
verdadeiro, então ele é verdadeiro, se falso, então é falso.
Valor
Lógico de Uma Proposição
·
Um proposição poderá ter valor
lógico de verdadeiro ou falso. Toda proposição terá um e somente um valor
lógico ou V ou F.
Tipos de Proposição:
·
Simples – representadas por letras
minúsculas (p. q, r etc)
Exs: p: João é jogador de futebol;
q: Maria vai ao parque;
·
Composta – as que são formadas pela
combinação de duas ou mais proposições representadas pelas letras P, Q, R, S,
T.
Exs: P: Antonio é alto ou 2 é um numero impar
Q: se chover amanhã então
eu não vou a praia
R: Passarei nesse concurso se e somente se eu estudar
bastante
S: Roberto é advogado e engenheiro.
CONECTIVOS:
Palavras
usadas para ligar as proposicoes e assim criando novas proposicoes.
São eles:
|
Nome
|
Símbolo
|
|
E...
|
^
|
|
Ou
|
v
|
|
Ou .... ou.... (exclusivo)
|
V
|
|
Se....então
|
 |
|
Se e somente se...
|
 |
Conectivo E – Conjunção (^)
Pedro Vai a praia e Maria vai ao Cinema representação: (p ^q)
Conjunção – só será verdadeira se todos as proposições componentes forem
verdadeiras, caso contrario ela será falsa.
Tabela Verdade:
|
Pedro Vai a praia (p)
|
Maria vai ao Cinema
|
Pedro
Vai a praia e Maria vai ao
Cinema (p ^q)
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
Conectivo “OU” – Disjunção – (v)
Uma disjunção só será falsa quando as partes ou proposições forem
falsas. Basta que uma das composições proponentes seja verdadeira pra que a
disjunção seja verdadeira.
Pedro Vai a praia OU Maria vai ao Cinema representação: (p v q)
Tabela Verdade:
|
Pedro Vai à praia (p)
|
Maria vai ao Cinema
|
Pedro
Vai a praia ou Maria vai ao
Cinema (p ^q)
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
V
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
F
|
Conectivo “Ou.... Ou” Disjunção Exclusiva – v
·
Uma disjunção exclusiva só será
verdadeira se obedecer a mutua exclusão das sentenças, ou seja, só será
verdadeira se uma das sentenças for verdadeira e a outra for falsa. Nos demais
casos a disjunção exclusiva será falsa.
Seja a sentença:
Ou Pedro Vai a praia ou Maria vai ao Cinema representação: (p v q)
Tabela Verdade:
|
Ou Pedro Vai à praia (p)
|
Ou Maria vai ao Cinema
|
Pedro
Vai a praia ou Maria vai ao
Cinema (p ^q)
|
|
V
|
V
|
F
|
|
V
|
F
|
V
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
F
|
Conectivo “Se ... então” –
Condicional
·
Uma
condicional só será FALSA QUANDO a primeira parte for verdadeira e a segunda
FOR falsa, nos demais casos ela será sempre verdadeira.
Seja a sentença:
Se Pedro estudar então ele será aprovado
representação: (p q)
(Condição) (obrigatoriedade) (conseqüência)
Se alguém disser que Pedro estudou e
que é falso que ele não foi aprovado, então esse conjunto todo será falso. Concluímos que o Fato de Pedro ter
estudado é condição suficiente
para que ele seja aprovado (resultado
necessário). Uma Condição
Suficiente gera um resultado
necessário.
Pedro ir a praia é condição
suficiente para Maria ir ao cinema
Traduzindo: Se Pedro for a praia Então Maria vai ao Cinema. (as frases são logicamente equivalentes)
Maria ir ao cinema é condição
necessária para Pedro ir a praia
Traduzindo: Se Pedro for a praia Então Maria vai ao Cinema
Pedro
ir a praia é CONDIÇÃO
SUFICIENTE para Maria ir ao Cinema
Maria
ir ao Cinema é CONDIÇÃO NECESSÁRIA
para Pedro ir a praia
Expressões que podem se empregar em Se A então B:
Se A, B. A é condição
suficiente para B. A implica B. A somente se
B.
B é condição necessária para
A. B se A. Quando A, B. Todo A é B
----------------------
Vejamos:
(Se A, B) Se chove faz frio faz
frio, se chove (B se A) (Quando
A,B) Quando Chove, faz frio
(A implica B) Chover implica
fazer frio (A é condição suficiente para B) Chover é
condição suficiente para fazer frio
(B é condição necessária para
A) fazer frio é condição necessária para Chover.
Tabela Verdade:
|
Se Pedro estudar (p)
|
Então será aprovado
|
Se estudar então
será aprovado (p q) |
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
V
|
·
Uma condicional só será FALSA QUANDO
a primeira parte for verdadeira e a segunda FOR falsa, nos demais
casos ela será sempre verdadeira.
Conectivo “Se somente se” – BICONDICIONAL
A BICONDICIONAL será falsa somente quando os valores lógicos das duas
proposições que a compõem forem diferentes. Restando para que ela seja
verdadeira que ambos sejam iguais.
Em suma, haverá duas situações em
que BICONDICIONAL será verdadeira: quando o antecedente e conseqüente forem ambos Verdadeiros e quando forem
ambos Falsos.
Seja
a sentença:
Pedro fica
feliz SE SOMENTE SE Maria rir. representação: (p q)
Equivalência DA
BICONDICIONAL:
- uma proposição bicondicional “p se e somente se q”
equivale a proposição composta: “se p então q e se q então p” ou seja,
Vejamos: (p q) é a mesma coisa de : (q p) – note que é uma bicondicional, ou
seja, duas condicionais.
P se e só se Q; Se
P então Q e se Q então P. P
somente se Q e Q somente se P.
P é condição suficiente para Q e Q é condição suficiente para P.
P é condição necessária para Q e Q é condição
necessária
para P.
Todo P é Q e todo Q é P. Todo
P é Q e reciprocamente
Tabela Verdade:
|
Pedro fica feliz
(p)
|
Se e somente se Maria sorri (q)
|
 Se estudar então
será aprovado (p q) |
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
F
|
V
|
A BICONDICIONAL será falsa somente quando os valores lógicos das duas
proposições que a compõem forem diferentes.
Conectivo de Negação ( ~)
- representa a negação de uma
proposição.
Veja se eu tenho na sentença (p)
então sua negação será (~p).
Sentença:
p ~p
Pedro é trabalhador Pedro não é trabalhador
Obs. Caso a sentença já traga consigo a negativa (palavra
não) para negar a sentença basta se excluir a palavra não.
Sentença:
~p p
Pedro não é
trabalhador Pedro
é trabalhador
Tabela Verdade:
|
Pedro fica feliz (p)
|
Pedro não fica feliz (~p)
|
|
V
|
F
|
|
F
|
V
|
Podem ser empregadas as Equivalentes: não é verdade que A é falso que A.
Negativa de uma proposição composta:
Obs: a negação de:
|
Todo A é B
|
Algum ou pelo menos um A não é B
|
|
Algum A é B
|
Nenhum A é B
|
Negação de uma proposição conjuntiva ~(p e q);
Passos:
1.
Negar a primeira proposição ~(p);
2.
Negar a segunda proposição ~(q);
3.
Trocar o E por OU.
VEJAMOS:
Se tivermos (P
^ Q) = ~P v ~Q
Negação de uma proposição disjuntiva ~(p v q)
Passos:
1.
Negar a primeira proposição ~(p);
2.
Negar a segunda proposição ~(q);
3.
Trocar o OU por E.
VEJAMOS:
Se tivermos (P
V Q) = ~p ^ ~q
Negação de uma proposição condicional ~(p q)
Passos:
1.
Mantém-se a primeira parte,
2.
Troca-se por E - ^;
3.
Nega-se a segunda parte
Assim temos:(p q)= p ^
~ q
Assim, encerram-se o estudo da lógica no que se refere aos conectivos e
às proposições lógicas.
Resumindo o aprendizado
|
ESTRUTURA LÓGICA
|
É VERDADE QUANDO
|
É FALSO QUANDO
|
|
p ^ q
|
P e q ambos são
verdade
|
Um dos dois for
falso
|
|
p v q
|
basta um seja
verdadeiro p ou q
|
p e q são falsos
|
 p q |
Nos demais
casos
|
p é verdade e q
é falso
|
 p q |
p e q tiverem
valor lógico iguais
|
Valor lógico
diferentes
|
|
~p
|
É verdade
quando p é falso
|
Quando p é verdade
|
Tabela da Negação
|
Estrutura lógica
|
Negação
|
|
P e q
|
~p ou ~q
|
|
P ou q
|
~p e
~q
|
|
P q |
P e ~q
|
 P q |
(p e ~q) ou (q e ~p)
|
Tabela Verdade:
- é um dispositivo prático na qual figuram
todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondente da
proposição simples.
Quais são os possíveis valores que
uma proposição composta pode adminitir? Como ela pode vir com inúmeras proposições,
para isso se precisa calcular o numero de linhas da TBV.
N linhas = 2 elevado ao numero de
proposições. Por exemplo: 2² = 4 linhas de uma TBV.
No entanto, esse método da TBV será
inviável se lhe for apresentada um numero imenso de proposições.
Observe:
( ~ p ^ ~q) como ficara a tabela
verdade?
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
(~p ^ ~q)
|
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
Tautologia: uma proposição composta formada por duas ou mais proposições
tal como p, q, r, .... Será considerada uma Tautologia se ela for sempre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,...
que a compõem.
Trocando em miúdos, você terá
exemplos de tautologia quando fizer a tabela verdade de qualquer proposição e
como resultado final, ou seja, a ultima coluna todos forem verdadeiros.
Tautologia sempre será verdadeira.
Vejamos: p (p
^ q) essa
tabela é uma tautologia|
p
|
q
|
p ^ q
|
 p ( p ^ q) |
|
V
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
V
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Contradição: uma proposição composta
formada por duas ou mais proposições tal como p, q, r, .... Será considerada
uma CONTRADIÇÃO se ela sempre for falsa. Independentemente dos valores lógicos
das proposições p, q, r,... que a compõem.
Vejamos: (p <-> ~q) ^ (
p ^ q)
|
P
|
Q
|
~ q
|
(p
<-> ~q)
|
( p ^ q)
|
: (p <-> ~q) ^ (
p ^ q)
|
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
Contingência: uma proposição composta formada por duas ou mais proposições
tal como p, q, r, .... Será considerada uma Contingência sempre que não for uma
tautologia e nem uma contradição.
Vejamos: ( p v q ) - > S
|
P
|
Q
|
S
|
(p v q )
|
S
|
( p v q ) - > S
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
|
V
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
|
F
|
V
|
F
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V
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F
|
F
|
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Exercícios de fixação
1.
Ricardo, Rogerio e Renato são irmãos. Um deles é medico, o
outro é professor e o outro é musico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é medico ou
Renato é musico; 2) ou Ricardo é professor ou Rogerio é musico; 3) Ou Renato é
musico ou Rogério é musico; 4) ou Rogério é professor ou Renato é professor.
Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério, e Renato são respectivamente:
a)
Professor, medico,
musico;
b)
Medico, professor e musico;
c)
Professor, musico e médico;
d)
Musico, medico e professor;
e)
Medico, musico e professor.
2.
De três irmãos, José, Adriano e Caio, sabe-se que: ou José é
o mais velho, ou Adriano é o mais moço, Sabe-se também que: ou Adriano é o mais
velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos
são, respectivamente:
a)
Caio e José;
b)
Caio e Adriano;
c)
Adriano e Caio;
d)
Adriano e José;
e)
José e Adriano
3.
Pedro após visitar uma aldeia distante afirmou: “não é
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que
seja verdadeira a seguinte proposição:
a)
No Maximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta;
b)
Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta;
c)
Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta;
d)
Nenhum aldeão daquela aldeã não dorme a sesta;
e)
Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta
4.
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